Алгебри поліномів, породжені лінійними операторами

Анотація

Нехай $E$ $-$ банаховий простір, а $A$ $-$ комутативна банахова алгебра з одиницею. Нехай $\mathbb{P}(E, A)$ $-$ простір $A$-значних поліномів на $E$, породжених обмеженими лінійними операторами ($n$-однорідний поліном в $\mathbb{P}(E,A)$ має вигляд $P=\sum_{i=1}^\infty T^n_i,$ де $T_i:E\to A,$ $1\leq i <\infty,$ є обмеженими лінійними операторами і $\sum_{i=1}^\infty \|T_i\|^n < \infty$). Для довільної компактної множини $K$ в $E$ позначимо через $\mathbb{P}(K, A)$ замикання в $\mathscr{C}(K,A)$ звужень $P|_K$ поліномів $P$ в $\mathbb{P}(E,A)$. Доведено, що $\mathbb{P}(K, A)$ є $A$-значною рівномірною алгеброю, яка за певних умов є ізометрично ізоморфною ін'єктивному тензорному добутку $\mathcal{P}_N(K){\widehat\otimes}_\epsilon A,$ де $\mathcal{P}_N(K)$ $-$ рівномірна алгебра на $K$, породжена ядерними скалярними поліномами. Тоді простір характерів простору $\mathbb{P}(K, A)$ ототожнюється з $\hat{K}_N\times \mathfrak{M}(A),$ де $\hat K_N$ $-$ ядерна поліноміальна опукла оболонка $K$ в $E$, а $\mathfrak{M}(A)$ $-$ простір характерів алгебри $A$.