Множини збіжності та відносної стійкості до збурень гіллястого ланцюгового дробу з додатними елементами

Анотація

У роботі досліджуються питання збіжності та відносної стійкості до збурень гіллястого ланцюгового дробу з додатними елементами та фіксованою кількістю гілок розгалуження. Встановлено умови, за яких множини елементів \[\Omega_0 = ( {0,\mu _0^{(2)}} ] \times [ {\nu _0^{(1)}, + \infty } ),\quad \Omega _{i(k)}=[ {\mu _k^{(1)},\mu _k^{(2)}} ] \times [ {\nu _k^{(1)},\nu _k^{(2)}} ],\]\[i(k) \in {I_k}, \quad k = 1,2,\ldots,\] де $\nu _0^{(1)}>0,$ $0 < \mu _k^{(1)} < \mu _k^{(2)},$ $0 < \nu _k^{(1)} < \nu _k^{(2)},$ $k = 1,2,\ldots,$ є послідовністю множин збіжності та відносної стійкості до збурень гіллястого ланцюгового дробу \[\frac{a_0}{b_0}{\atop+}\sum_{i_1=1}^N\frac{a_{i(1)}}{b_{i(1)}}{\atop+}\sum_{i_2=1}^N\frac{a_{i(2)}}{b_{i(2)}}{\atop+}\ldots{\atop+} \sum_{i_k=1}^N\frac{a_{i(k)}}{b_{i(k)}}{\atop+}\ldots\,.\] Отримані умови вимагають обмеженості або збіжності послідовностей, члени яких залежать від величин $\mu _k^{(j)},$ $\nu _k^{(j)},$ $j=1,2.$ У випадку, якщо множинами елементів гіллястого ланцюгового дробу є множини ${\Omega _{i(k)}} = ( {0,{\mu _k}} ] \times [ {{\nu _k}, + \infty } ),$ $i(k) \in {I_k},$ $k = 0,1,\ldots,$ де ${\mu _k} > 0,$ ${\nu _k} > 0,$ $k = 0,1,\ldots,$ то умови збіжності та стійкості до збурень формулюються через збіжність рядів, члени яких залежать від величин $\mu _k,$ $\nu _k.$ Також встановлено умови відносної стійкості до збурень гіллястого ланцюгового дробу, якщо частинні чисельники на парних поверхах дробу збурюються за недостачею, а на непарних $-$ за надлишком, тобто за умови знакопочерговості відносних похибок частинних чисельників. В усіх випадках отримано оцінки відносних похибок підхідних дробів, які виникають в результаті збурення елементів гіллястого ланцюгового дробу.